Question

如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的外接球表面积为

17π

．

Answer 1

分析：还原三视图成直观图，得到如图所示的三棱锥P-ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC=BC=2且PA=3．利用线面垂直的判定与性质，证出PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，从而得到PB的中点O就是多面体的外接球的球心．再根据勾股定理和球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答：解：根据三视图的形状，将该多面体还原成直观图，得到如图所示的三棱锥P-ABC．
其中△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．
∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
结合PC?平面PAC，得BC⊥PC
因此，PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，设PB的中点为0，则OA=OB=OC=OP=

1

2

PB．
∴PB的中点O就是多面体的外接球的球心
∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2

2

又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB=

PA2+AB2

=

17

，
可得外接球的半径R=

17

2

，所以外接球表面积为S=4πR²=17π．
故答案为：17π

点评：本题给出三视图，求多面体的外接球的表面积．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．