Question

8．下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量x（单位：吨）及对应销售价格y（单位：万元/吨）．

x	1	2	3
y	5	4	3

（1）若y与x有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y关与x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z最大？最大利润是多少？
参考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}{y_i}}）}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）求出样本中心，通过求解$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}{y_i}}）}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，然后求解直线方程．
（2）利用回归直线方程求解即可．

解答 解：（1）由表格得，$\overline x=\frac{1+2+3}{3}=2$，$\overline y=\frac{5+4+3}{3}=4$，…（2分）
$\widehatb=\frac{1×5+2×4+3×3-3×2×4}{{{1^2}+{2^2}+{3^2}-3×{2^2}}}=-1$，$\widehata=4-（{-1}）×2=6$，…（4分）
故所求的线性回归方程为$\widehaty=-x+6$．…（6分）
（2）由题意得，年利润$z=x（{-x+6}）-x=-{x^2}+5x=-{（{x-\frac{5}{2}}）^2}+\frac{25}{4}$，…（10分）
所以，预测当年产量为2.5吨时，年利润最大，最大利润为6.25万元．…（12分）

点评 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．