Question

（2012•盐城二模）甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p，乙，丙的命中率均为q（p，q∈（0，1））．现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ．
（1）当p=q=

1

2

时，求数学期望E（ξ）；
（2）当p+q=1时，试用p表示ξ的数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）当p=q=

1

2

时，ξ～(B，

1

2

)，故利用E（ξ）=np可求数学期望；
（2）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答：解：（1）当p=q=

1

2

时，ξ～(B，

1

2

)，故数学期望E（ξ）=np=3×

1

2

=

3

2

；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-p）p²=p²-p³，
P（ξ=1）=pp²+（1-p）

C

1 2

p（1-p）=3p³-4p²+2p，
P（ξ=2）=

C

1 2

p（1-p）p+（1-p）³=5q²-3p³-3p+1，
P（ξ=3）=p³-2p²+p，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	p2-p3	3p3-4p2+2p	5q2-3p3-3p+1	p3-2p2+p

∴Eξ=0×（p²-p³）+1×（3p³-4p²+2p）+2×（5q²-3p³-3p+1）+3×（p³-2p²+p）=2-p．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，确定变量的取值，求出概率是关键．