Question

p：x²+2x+a≥0，q：|x-3|＞2，若p是?q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出p，q成立的等价条件，利用p是?q的必要不充分条件，建立条件关系即可求a的取值范围．

解答：解：由|x-3|＞2，得x-3＞2或x-3＜-2，
即x＞5或x＜1，即q：x＞5或x＜1，￢q：1≤x≤5，
∵p：x²+2x+a≥0，
∴若p是?q的必要不充分条件，
即￢q⇒p成立，p⇒￢q不成立，
即当1≤x≤5时，不等式x²+2x+a≥0恒成立，
即a≥-x²-2x，在1≤x≤5上恒成立，
设f（x）=-x²-2x，
则f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵1≤x≤5，
∴当x=1时，函数f（x）有最大值f（1）=-1-2=-3，
∴a≥-3．
即a的取值范围为[3，+∞）．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系将条件转化为最值恒成立是解决本题的关键．