题目内容
18．在平面内，设三角形ABC的边长为a，b，c，面积为S，则其内切圆半径r可由关系式S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r求出，请类比此方法解决下述问题：在空间中，已知四面体ABCD中，AB=8，AC=BC=5，AD=BD=$\sqrt{41}$，CD=4，则此四面体内切球（位于四面体内且与各面相切的球）的半径R=$\frac{8}{7}$．分析 由题意，DC⊥AC，DC⊥BC，利用V=$\frac{1}{3}$（S1+S2+S3+S4）R，即可得出结论．
解答 解：由题意，V=$\frac{1}{3}$（S1+S2+S3+S4）R，DC⊥AC，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，
分别设S△BCD、S△ACD、S△ABD、S△ABC为S1、S2、S3、S4，则S1=$\frac{1}{2}×4×5$=10，S2=$\frac{1}{2}×4×5$=10，S3=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{41-16}$=10，S4=$\frac{1}{2}×8×\sqrt{25-16}$=12，
∴由V=$\frac{1}{3}$（S1+S2+S3+S4）R，可得$\frac{1}{3}×12×4$=$\frac{1}{3}×（10+10+10+12）R$
∴R=$\frac{8}{7}$．
故答案为：$\frac{8}{7}$．
点评 本题借助于一个平面内关于内切圆半径的正确命题，通过将其推广到空间的一个结论，考查了三角形面积公式和锥体体积公式等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 9 | B． | -$\frac{1}{3}$ | C． | 1 | D． | -1 |
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