Question

13．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	68	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（Ⅱ）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品．
（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；
（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．
（ⅰ）由题意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），可得EY=2×$\frac{6}{100}$．
（ⅱ）确定Z的取值，利用超几何分布可得相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望EZ．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8＞0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，
∵设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．
（ⅰ）由题意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$．
（ⅱ）由题意可知Z的分布列为

Z	0	1	2
P	$\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$

E（Z）=$0×\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$+1×$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$+2×$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$=$\frac{3}{25}$．

点评 本题考查了二项分布列及其数学期望、正态分布曲线的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．