Question

3．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），其中a为实数．
（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；
（Ⅱ）若x≥1时，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由已知得x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a，由此利用导数的性质能求出f（x）的极值．
（Ⅱ）设g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，则${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$，由此利用导数性质能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx-a（x-1），其中a为实数，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a
∴当a≤0时，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$无解，
∴f（x）没有极值；
当a＞0时，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$得x=$\frac{1}{a}$，
当x∈（0，$\frac{1}{a}$），f′（x）＞0；x∈（$\frac{1}{a}，+∞$），f′（x）＜0，
∴f（x）有极大值$f（\frac{1}{a}）=a-1-lna$，没有极小值．
（Ⅱ）设g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，
则${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，
∵x≥1时，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，
∴x≥1时，a≥1，g′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$≥0，g（x）≥g（1）=0恒成立；
a＜1时，g（x）≥0不恒成立．
综上可得a的取值范围时[1，+∞）．

点评 本题综合考查了导数在解决函数问题中运用，综合运用解决问题能力，属于综合题目，