题目内容
定义域均为R的奇函数f （x）与偶函数g （x）满足f （x）+g （x）=10x．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（
）；（3）试用f（x1），f（x2），g（x1），g（x2）表示f（x1-x2）与g（x1+x2）．
【答案】分析：（1）由题意可得：f（x）+g（x）=10x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10-x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）（法一）由（1）可得g（x1）+g（x2）的表达式，再利用基本不等式把g（x1）+g（x2）进行化简整理即可得到答案．
（法二））要证明原不等式成立，只要证g（x1）+g（x2）-2g（
）≥0即可
（3）由（1）可得f（x1）、f（x2）、g（x1）、g（x2）、f（x1-x2）与g（x1+x2）的表达式与结构特征，进而可求
解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=10x ①
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10-x ②
由①，②解得f（x）=
（10x-
），g（x）=
（10x+
）．
（2）解法一：
=
=
=
（法二）∵g（x1）+g（x2）-2g（
）=
-（
）
=
=
≥
=0
∴g（x1）+g（x2）≥2g（
）
（3））∵f（x）=
（10x-
），g（x）=
（10x+
）．
∴f（x1-x2）=
=
=
=
=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2）
同理可得，g（x1+x2）=
=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．
点评：本题主要考查函数的性质：函数的解析式，奇偶性，单调性等性质，函数与指对式的化简变形结合起来，此题综合性较强，属于难题，考查学生综合应用知识的能力．
（2）（法一）由（1）可得g（x1）+g（x2）的表达式，再利用基本不等式把g（x1）+g（x2）进行化简整理即可得到答案．
（法二））要证明原不等式成立，只要证g（x1）+g（x2）-2g（
）≥0即可（3）由（1）可得f（x1）、f（x2）、g（x1）、g（x2）、f（x1-x2）与g（x1+x2）的表达式与结构特征，进而可求
解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=10x ①
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10-x ②
由①，②解得f（x）=
（10x-），g（x）=（10x+）．（2）解法一：
=
=
=（法二）∵g（x1）+g（x2）-2g（
）=-（）=
=
≥=0∴g（x1）+g（x2）≥2g（
）（3））∵f（x）=
（10x-），g（x）=（10x+）．∴f（x1-x2）=
=
=
=
=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2）
同理可得，g（x1+x2）=
=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．点评：本题主要考查函数的性质：函数的解析式，奇偶性，单调性等性质，函数与指对式的化简变形结合起来，此题综合性较强，属于难题，考查学生综合应用知识的能力．
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