Question

10．已知函数f（x）=x²-2x+t，g（x）=x²-t（t∈R）
（1）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的值域（用t表示）
（2）设集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整数t，使得A∩B=A．若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过配方求出f（x）的值域；
（2）求出集合A，通过讨论t的范围，求出集合B，解不等式求出t的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²+t-1，x∈[2，3]，
对称轴x=1，f（x）在[2，3]递增，
∴x=2时，f（x）最小，f（2）=t，
x=3时，f（x）最大，f（3）=t+3，
∴f（x）的值域是[t，t+3]；
（2）由（1）得：A=[t，t+3]，B即为|g（x）|的值域，
∵A∩B=A，∴A⊆B，
∵g（x）=x²-t，x∈[2，3]，
假设存在正整数t符合要求，
①当1≤$\sqrt{t}$≤2时，即1≤t≤4时，
|g（x）|的值域是B=[4-t，9-t]，
由4-t≤t＜t+3≤9-t，
∴2≤t≤3，
∴t=2或3，
②当2＜$\sqrt{t}$＜3时，即4＜t＜9时：
|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{-f（2），f（3）}=max{t-4，9-t}，
显然当4＜t＜9时，t+3＞t-4且t+3＞9-t，不符舍去，
③当$\sqrt{t}$≥3即t≥9时，
|g（x）|的值域是B=[t-9，t-4]，
由t-9≤t+3≤t-4，解集为空，
综上t=2或3．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．