Question

设函数f（x）=Asin（ωx+φ ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=

π

6

处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据图象确定A，ω 和φ的值即可求函数的解析式；
（2）利用三角函数的B倍角公式公式进行化简即可．

解答： 解：（1）由题设条件知f（x）的周期T=π，即

2π

ω

=π，
解得ω=2．
因为f（x）在x=

π

6

处取得最大值2，所以A=2，
从而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
又由-π＜φ≤π，得φ=

π

6

．
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）g（x）=

6cos4x-sin2x-1

2sin(2x+ π 2 )

=

6cos4x+cos2x-2

2cos2x

=

(2cos2x-1)(3cos2x+2)

2(2cos2x-1)

=

3

2

cos²x+1（cos²x≠

1

2

）．
因cos²x∈[0，1]，且cos²≠

1

2

．
故g（x）的值域为[1，

7

4

）∪（

7

4

，

5

2

]．

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及诱导公式的应用，根据图象确定A，ω 和φ的值是解决本题的关键．