Question

12．已知函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$-2），其中a是大于0的常数．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得由对数函数的真数大于0，通过讨论x＞0，x＜0，解不等式即可得到所求定义域；
（2）由题意可得lg（x+$\frac{a}{x}$-2）＞0，即x+$\frac{a}{x}$-2＞1，即有a＞x（3-x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，由二次函数的最值求法，结合对称轴和区间的关系，可得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=-3时，f（x）=lg（x-$\frac{3}{x}$-2），
由x-$\frac{3}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{x}$=$\frac{（x-3）（x+1）}{x}$＞0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-3）（x+1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{（x-3）（x+1）＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞3或-1＜x＜0，
则函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（3，+∞）；
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即为lg（x+$\frac{a}{x}$-2）＞0，即x+$\frac{a}{x}$-2＞1，
即有a＞x（3-x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，
由y=x（3-x）的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，区间[2，+∞）为减区间，
即有x=2处y取得最大值，且为2，
则a＞2．
故a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查对数函数的定义域的求法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离以及二次函数的单调性，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题．