Question

10．已知函数$f（x）=x-\frac{2}{x}$，．
（Ⅰ） 判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明； 并求f（x）在x∈[-2，-1]的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的定义域，求出f（-x），判断出f（-x）与f（x）的关系，利用奇函数偶函数的定义判断出f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）设出定义域中的两个自变运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤，再根据函数的单调性求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为x≠0，
又∵f（-x）=-x+$\frac{2}{x}$=-（x-$\frac{2}{x}$）=-f（x），
∴f（x）在其定义域内是奇函数．
（Ⅱ）设x₁＜x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂＜0
∴x₂x₁＞0，（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴f（x）在[-2，-1]单调递增．
∴f（x）_max=f（-1）=-1+2=1，f（x）_min=f（-2）=-2+1=-1，

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．