Question

7．设A（1，0），B（2，1），C是抛物线y²=4x上的动点．
（1）求△ABC周长的最小值；
（2）若C位于直线AB左上方，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）C到准线的距离为|CH|，则|CA|=|CH|，B，C，H共线时，△ABC周长最小，即可求△ABC周长的最小值；
（2）设与AB平行的直线l：y=x+b，由题意，当l与抛物线相切时，切点C满足△ABC面积最大，此时平行线间距离h就是AB边上的高，求出h，即可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）C到准线的距离为|CH|，则|CA|=|CH|，
∵|AB|=$\sqrt{2}$为常数，
∴B，C，H共线时，△ABC周长最小，
∵（|BC|+|CH|）_min=3，∴△ABC周长的最小值为3+$\sqrt{2}$；
（2）设与AB平行的直线l：y=x+b，
由题意，当l与抛物线相切时，切点C满足△ABC面积最大，此时平行线间距离h就是AB边上的高，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²-4y+4b=0，令△=0得b=1，
∴l：x-y+1=0，
∴h=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△ABC面积的最大值S=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．