Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-3x．
（1）当x∈R时，求函数f（x）的解析式：，
（2）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上是增函数，；
（3）求函数y=f（x）-x+3所有零点的集合．

Answer 1

分析 （1）当x∈R时，根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式：，
（2）利用函数单调性的定义即可证明：f（x）在[2，+∞）上是增函数，；
（3）根据函数与方程之间的关系解y=f（x）-x+3=0，即可求出所有零点的集合．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
当x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=x²+3x=-f（x），
即f（x）=-x²+3x，x＜0，
即当x∈R时，函数f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}+3x，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（2）证明：2≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=证明：设-2≤x₁＜x₂ 
则f（x₂）-f（x₁）=x₂²-3x₂-x₁²+3x₁=（x₁+x₂）（x₂-x₁）-3（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂-3），
∵2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂-3＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[2，+∞）单调递增；
（3）当x≥0时，y=f（x）-x+3=x²-3x-x+3=x²-4x+3，
由y=x²-4x+3=0得x=1或x=3，
当x＜0时，y=f（x）-x+3=-x²+3x-x+3=-x²+2x+3，
由y=-x²+2x+3=0得x=-1或x=3（舍），
即函数零点的集合为{-1，1，3}．

点评 本题主要考查了偶函数的定义的应用，函数的单调性的定义在证明（判断）函数的单调性中的应用，属于基本知识的简单的应用．