Question

设函数f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+acos²（

π

2

+x）的一个零点是x=

π

12

．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对三角函数关系是进行恒等变换，进一步利用函数的零点求出a的值．
（2）根据（1）的结论，进一步对三角函数关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+acos²（

π

2

+x）
=2

3

sinxcosx-cos²x+asin²x
=

3

sin2x-

1

2

(cos2x+1)+

1

2

a(1-cosx)
由于x=

π

12

是函数的零点，
所以：f（

π

12

）=

3

2

-

1

2

(

3

2

+1)+

1

2

a(1-

3

2

)
=

1

2

a-

1

2

=0
解得：a=1
则：f（x）=2

3

sinxcosx-cos²x+asin²x=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
所以：函数的周期为：T=

2π

2

=π
（2）令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
所以函数的单调递增区间为：[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）

点评：本题考查的知识要点：零点在三角函数中的应用，三角函数关系式的恒等变换，整体思想的应用，正弦型函数单调性的应用．属于基础题型．