题目内容
5．已知函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
分析 （1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答 解：（1）∵函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（-1，0）
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
当x=1时，f′（1）=$\frac{1}{4}$得切线的斜率为$\frac{1}{4}$，所以k=$\frac{1}{4}$；
所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-ln2+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0，
故切线方程为 x-4y+4ln2-3=0．
点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
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