Question

8．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），求方向向量为$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直线与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 求出平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），利用方向向量为$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直线与平面ABC所成角的余弦值=sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞，即可得出结论

解答 解：设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{a-3b+2c=0}\\{-2a-b+3c=0}\end{array}\right.$，
取a=1，可得平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴方向向量为$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直线与平面ABC所成角θ的余弦值cosθ=sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．