题目内容
已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：
①f（0）•f（1）＞0；②f（0）•f（1）＜0；③f（0）•f（3）＞0；④；f（0）•f（3）＜0；
⑤f（x）的极值为1和3．其中正确命题的序号为 ．
①f（0）•f（1）＞0；②f（0）•f（1）＜0；③f（0）•f（3）＞0；④；f（0）•f（3）＜0；
⑤f（x）的极值为1和3．其中正确命题的序号为
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：根据f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论
解答：
解：求导函数可得f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3）
∴1和3是函数的极值点，不是极值，故⑤错误，
所以f（x）极大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0，故②③正确．
故答案为：②③．
∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3）
∴1和3是函数的极值点，不是极值，故⑤错误，
所以f（x）极大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0，故②③正确．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．
练习册系列答案
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已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-
．
（1）求证：f（x）在R上是减函数．
（2）求函数在[-3，3]上的最大值和最小值．
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（1）求证：f（x）在R上是减函数．
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一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A、12+
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B、36+
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C、18+
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D、6+
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