Question

11．已知函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+1（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=e^x-ax-1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=xe^x-x=x（e^x-1）≥0，
x≥0时，e^x-1≥0，x＜0时，e^x-1＜0，
∴f（x）在R递增；
（2）f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+1，（x≥0），
f′（x）=x（e^x-ax-1），
令g（x）=e^x-ax-1，（x≥0），
g′（x）=e^x-a，
①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，
∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，
∴f（x）≥f（0）=0，成立，
②当a＞1时，存在x₀∈[0，+∞），使g（x₀）=0，即f′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，x₀）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，
综上：a≤1．

点评 本题主要考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于中档题．