Question

18．已知f（x）=|x²-1|+x²+kx在（0，2）上有两个零点，则实数k的取值范围是（1，$\frac{7}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=|x²-1|+x²，h（x）=kx，由x的范围化简g（x），在同一个直角坐标系中画出函数g（x）和h（x）的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k的取值范围即可．

解答 解：由题意设g（x）=|x²-1|+x²，h（x）=kx，
则g（x）=|x²-1|+x²=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜x≤1}\\{2{x}^{2}-1，1＜x＜2}\end{array}\right.$，
在同一个直角坐标系中画出函数g（x）和h（x）的图象如图，
当直线h（x）处在两条虚线之间时，函数g（x）和h（x）的图象由两个交点，
把点（2，7）和（1，1）代入求出k=$\frac{7}{2}$、k=1，
所以f（x）=|x²-1|+x²+kx在（0，2）上有两个零点时，
实数k的取值范围是（1，$\frac{7}{2}$），
故答案为：（1，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．