Question

16．已知圆C₁：x²+y²+6x=0关于直线l₁：y=2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（-1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB．若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，解出圆心关于直线l₁：y=2x+1的对称点，即可得到圆C的圆心坐标，求得圆C的标准方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，直接求出直线方程，与圆的方程联立求出A，B的坐标，已知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$即可；当直线的斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，代入向量垂直的坐标运算求得k，则直线方程可求．

解答 解：（1）圆C₁化为标准式为（x+3）²+y²=9，
设圆C₁的圆心C₁（-3，0）关于直线l₁：y=2x+1的对称点为C（a，b），
则${k}_{C{C}_{1}}•{k}_{{l}_{1}}=-1$，且CC₁的中点$M（{\frac{a-3}{2}，\frac{b}{2}}）$在直线l₁：y=2x+1上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+3}×2=-1}\\{（{a-3}）-\frac{b}{2}+1=0}\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}$，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）要使OA⊥OB，必须使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即：x₁x₂+y₁y₂=0．
①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-1，与圆C：（x-1）²+（y+2）²=9交于两点$A（{-1，\sqrt{5}-2}）$，$B（{-1，-\sqrt{5}-2}）$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（{-1}）（{-1}）+（{\sqrt{5}-2}）（{-\sqrt{5}-2}）=0$，∴OA⊥OB，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1满足条件．
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k（x+1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+（2k²+4k-2）x+k²+4k-4=0．
${x_1}+{x_2}=-\frac{{2{k^2}+4k-2}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}+4k-4}}{{1+{k^2}}}$，
由于点（-1，0）在圆C内部，∴△＞0恒成立．
要使OA⊥OB，必须使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
也就是：${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）=0$，
即${k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}=0$，
∴$-{k}^{2}•\frac{2{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}+（{k}^{2}+1）•\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}=0$
整理得：4k-4=0，解得：k=1，
∴直线l的方程为y=x+1．
故存在直线x=-1和y=x+1，使得OA⊥OB．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，是中档题．