题目内容

17．已知a，b，c为正实数，求证：（a2+2）（b2+2）（c2+2）≥3（a+b+c）2．

分析 要证不等式成立，作差整理成关于a的二次函数f（a）=a2[3-（b2+2）（c2+2）]+6a（b+c）+3（b+c）2-2（b2+2）（c2+2），由二次项系数小于0，判别式化简可得小于等于0，即可得证．

解答 证明：由3（a+b+c）2-（a2+2）（b2+2）（c2+2）
=a2[3-（b2+2）（c2+2）]+6a（b+c）+3（b+c）2-2（b2+2）（c2+2），
令f（a）=a2[3-（b2+2）（c2+2）]+6a（b+c）+3（b+c）2-2（b2+2）（c2+2），
由3-（b2+2）（c2+2）＜0，
△=36（b+c）2-4[3-（b2+2）（c2+2）][3（b+c）2-2（b2+2）（c2+2）]
=-4（b2+2）（c2+2）[2（b2+2）（c2+2）-6-3（b+c）2]
=-4（b2+2）（c2+2）[（b2+c2-2bc）+2（b2c2-2bc+1）]
═-4（b2+2）（c2+2）[（c-b）2+2（bc-1）2]，
由a，b，c为正实数，可得△≤0恒成立，
即有f（a）≤0恒成立，
可得原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数，运用二次函数的判别式法，考查化简整理的运算能力，属于难题．

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