Question

5．如图，三棱柱ABE-DCF中，△EAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且EA=2，BC=2$\sqrt{3}$，EC=4．
（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD；
（2）若点P在线段EA上，且PA=λEA（0＜λ＜1），当三棱锥B-APD的体积为$\frac{3}{2}$时，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）依题意可得EA=EB=2，DC=2$\sqrt{3}$，EC=4，推导出EB⊥BC，AB⊥BC．从而BC⊥平面EAB，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．
（2）取AB中点O，过点P作PM∥EO交AB于点M，则PM⊥平面ABCD，由V_B-APD=V_P-ABD，能求出结果．

解答 证明：（1）依题意可得EA=EB=2，DC=2$\sqrt{3}$，EC=4，
∴EB²+BC²=EC²，EB⊥BC，
又四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
又∵AB?平面EAB，EB?平面EAB，AB∩EB=B，
∴BC⊥平面EAB，而BC?平面ABCD，
∴平面EAB⊥平面ABCD．
解：（2）依题意可得EA=AB=EB=2，取AB中点O，
∴EO⊥AB，且EO=$\sqrt{3}$，
又由（1）知平面EAB⊥平面ABCD，则EO⊥平面ABCD．
如图，过点P作PM∥EO交AB于点M，则PM⊥平面ABCD，
Rt△ABD的面积为S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•AD=2\sqrt{3}$，
$\frac{3}{2}={V_{B-APD}}={V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PM⇒PM=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
由PM∥EO得$\frac{PM}{EO}=\frac{PA}{EA}$=λ，
∴$\frac{{\frac{{3\sqrt{3}}}{4}}}{{\sqrt{3}}}=λ，解得λ=\frac{3}{4}$．

点评 本题本题考査空间面面垂直关系判定及点的位置判断，考查面面垂直的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．