Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．

（1）求证：平面；

（2）设二面角的大小为，若，求的长．

 

 

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）2 .

【解析】

试题分析：（1）由已知条件用余弦定理和勾股定理推导出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．

（2）分别求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的长．

（1）由，得，．

又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．

则 2分

设，则 ．

设，得： ．

解得：，，，

所以． 4分

所以,，．

设面的法向量为，则，取．

因为，且面，所以平面． 6分

（2）设面法向量为， 因为，，

所以，取 ． 9分

由，得．

，得，∴，所以． 12分

考点：1.直线与平面平行的证明;2.线段长的求法.