Question

20．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．$GE=BD=2，EC=\frac{9}{5}$．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）求sin∠DCB值．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由CD是⊙O直径，证得∠OED=∠ODE，在Rt△AED中，G为AD中点，得出$EG=GD=\frac{1}{2}AD$，∠GED=∠GDE，求得∠OEG=∠DEO+∠GED=∠ODE+∠GDE=∠GDC=90°，即可得出结论；
（2）连接OG，证得△ADC∽△AED，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，解得AE的长与AC的长，由勾股定理得：DC、BC的长，即可求得sin∠DCB．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
在Rt△AED中，
∵G为AD中点，
∴$EG=GD=\frac{1}{2}AD$，
∴∠GED=∠GDE，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠GDC=90°，
∴∠OEG=∠DEO+∠GED=∠ODE+∠GDE=∠GDC=90°，
∴GE是⊙O的切线；

（2）解：连接OG，如图所示：
由（1）得：AD=2GE=4，
∵∠ADC=∠AED=90°，∠EAD=∠DAC，
∴△ADC∽△AED，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AC，
即${4^2}=AE（{AE+\frac{9}{5}}）$，
解得：$AE=\frac{16}{5}$或AE=-5（不合题意，舍去），
∴$AC=\frac{16}{5}+\frac{9}{5}=5$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{A{C^2}-A{D^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}}=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{3^2}}=\sqrt{13}$，
∴$sin∠DCB=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{{\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．