Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（1）AD⊥平面PQB；
（2）已知点M在线段PC上，且PA∥平面MQB，求$\frac{PM}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形证明PQ⊥AD，BQ⊥AD，即可证明AD⊥平面PQB；
（2）连接AC交BQ于点N，利用AQ∥BC得出$\frac{AN}{NC}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，再由PA∥平面MQB得出MN∥PA，即可得出$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）证明：△PAD中，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD；
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
连接BD，则△ABD是等边三角形，
∴BQ⊥AD；
又BQ∩PQ=Q，BQ?平面PQB，PQ?平面PQB，
∴AD⊥平面PQB；
（2）连接AC交BQ于点N，连接MN，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AN}{NC}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
又PA∥平面MQB，且平面PAC∩平面MQB=MN，
∴MN∥PA，
∴$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直与平行的判断、证明问题，是综合性题目．