Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$（a为常数，x＞0），
（Ⅰ）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；
（Ⅱ）当a=$\frac{1}{2}$时
（1）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线2x+3y-3=0垂直，求曲线在该点处的切线方程；
（2）求证：f（x）＞lnx+$\frac{1}{2}x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，讨论a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）（1）求出当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）的解析式，求出导数，可得切线的斜率和切点，由两直线垂直的条件可得斜率之积为-1，解得切点的坐标，即可得到所求切线的方程；
（2）设g（x）=f（x）-（lnx+$\frac{1}{2}x$），求出导数，求得单调区间和极值，可得最值，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，x＞0，
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞a；由f′（x）＜0，可得0＜x＜a．
可得f（x）的增区间为（a，+∞）；减区间为（0，a）；
当a＜0时，由f′（x）＜0，可得x＞-a；由f′（x）＞0，可得0＜x＜-a．
可得f（x）的减区间为（-a，+∞）；增区间为（0，-a）；
（Ⅱ）（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，f′（x）=2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
可得切线的斜率为k=2-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
由切线与直线2x+3y-3=0垂直，可得2-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
解得x₀=1，f（x₀）=f（1）=$\frac{5}{2}$，
可得曲线在该点处的切线方程为y-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1），
即为3x-2y+2=0；
（2）证明：设g（x）=f（x）-（lnx+$\frac{1}{2}x$）
=2x+$\frac{1}{2x}$-lnx-$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$-lnx，x＞0，
导数为g′（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{3{x}^{2}-1-2x}{2{x}^{2}}$=$\frac{（3x+1）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减．
可得g（x）在x=1处取得极小值，且为最小值$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$-0=2＞0，
即有g（x）≥g（1）＞0，即g（x）＞0，即有f（x）＞lnx+$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和化简整理的运算能力，属于中档题．