Question

16．已知（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和是128．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2^n-1=128，解出即可得出．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通项公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，可得：r=0，4，8时，T_r+1为有理项．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和是128．
∴2^n-1=128，
解得n=8．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通项公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（2\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{\root{4}{x}}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，
可得：r=0，4，8时，T_r+1为有理项．
分别为：2⁸x⁴，${∁}_{8}^{4}{2}^{4}x$，$\frac{1}{{x}^{2}}$．

点评 本题主要考查二项展开式等基础知识，考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想，属于中档题．