Question

15．如图，在△ABC中，∠BAD=90°，$BC=\sqrt{3}BD$，AD=1，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得cos∠CAD=sin∠BAC，利用两个向量数量积的定义求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•sin∠BAC，再利用正弦定理求得 AC•sin∠BAC=BC•sinB=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$，从而得出结论．

解答 解：在△ABC中，∠BAD=90°，$BC=\sqrt{3}BD$，AD=1，可得cos∠CAD=sin∠BAC，
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•AD•cos∠CAD=AC•AD•sin∠BAC=AC•sin∠BAC．
△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$，∴AC•sin∠BAC=BC•sinB=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=AC•sin∠BAC=$\sqrt{3}$BD•$\frac{1}{BD}$=$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量数量积的定义，正弦定理，体现了转化的数学思想，判断cos∠CAD=sin∠BAC，是解题的关键，属于中档题．