题目内容
1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且F1，F2分别是椭圆C的左右焦点，点M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13．（1）求椭圆C的方程；
（2）过A（0，1）作直线l与椭圆的另一交点为B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$，求椭圆上的点到直线l的距离的最大值．
分析 （1）利用点M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13，求出c，利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，可得b，即可求椭圆C的方程；
（2）先求出直线l的方程，再利用参数法求出椭圆上的点到直线l的距离的最大值．
解答 解：（1）∵点M（0，4），$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13，
∴（-c，-4）•（c，-4）=13，
∴c=$\sqrt{3}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，整理可得（1+4k2）x2+8kx=0
设B（x1，y1），则x1=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$，
∴y1=-$\frac{3}{5}$，
∴k×（-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$）+1=-$\frac{3}{5}$，
∴k=±1
取k=1，则x-y+1=0，
设椭圆上的点（x，y），则x=2cosθ，y=sinθ
椭圆上的点到直线l的距离d=$\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$，
∴椭圆上的点到直线l的距离的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
优学名师名题系列答案| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | 6 | C． | ±2$\sqrt{6}$ | D． | ±$\sqrt{15}$ |