Question

13．AD，BE分别是三角形ABC的中线，若AD=BE=2，且$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和数量积定义即可．

解答 解：∵AD=BE=2，且$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{EB}$|cos$\frac{2π}{3}$=2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-2，
∵AD，BE分别是△ABC的中线，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{BE}$），$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$（2$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{9}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{BE}$）（2$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$）=$\frac{4}{9}$（2${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$-${\overrightarrow{BE}}^{2}$）=$\frac{4}{9}$（8-2-4）=$\frac{8}{9}$，
故选：A．

点评 本题考查了数量积定义及其平行四边形法则、三角形法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．