Question

4．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的4倍，则该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据焦距和焦点到一条渐近线距离的，建立方程关系，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=$\frac{c}{a}$即可求出离心率．

解答 解：设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦点坐标为A（c，0），B（-c，0），渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x
根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，
则A（c，0）到y=$\frac{b}{a}$x的距离，d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{\sqrt{{c}^{2}}}$=b，
又焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的4倍，
则4b=2c，即c=2b，
两边平方，得4b²=c²，即4（c²-a²）=c²，
∴3c²=4a²，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，即e²=$\frac{4}{3}$，e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式．