Question

1．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （$\sqrt{2}$，2）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-x}$•$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}$=-1，求出c-x，利用D到直线BC的距离小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$），建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论．

解答 解：由题意，A（a，0），B（c，$\frac{bc}{a}$），C（c，-$\frac{bc}{a}$），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•$\frac{\frac{bc}{a}}{a-c}$=-1，
∴c-x=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$，
∵D到直线BC的距离c-x小于2（a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$），
∴c-x=|$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$|＜2（a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$）=2（a+c），
∴$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2（c²-a²）=2b²，
∴0＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2，
则0＜e²＜2，即1＜e＜$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．