Question

12．已知函数f（x）=-x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2x+2a，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x）_max＜g（x）_max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-1+$\frac{a}{x}$=$\frac{-（x-a）}{x}$（x＞0），
①a≤0时，由于x＞0，故x-a＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减，
②a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，
在区间（0，a）上，f′（x）＞0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，
a＞0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；
（Ⅱ）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，
g（x）_max=2a，
由（Ⅰ）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，值域是R，不合题意，
a=0时，f（x）=-x＜0=g（x）_max，符合题意，
a＞0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
故f（x）的极大值即为最大值，
f（a）=-a+alna，故2a＞-a+alna，解得：0＜a＜e³．
综上，a的范围是[0，e³]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的运用以及分类讨论思想，是一道中档题．