Question

如图已知抛物线：过点，直线交于，两点，过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点，．

(1)求的值；

(2)是否存在定点，当直线过点时，△与△的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）p=1;（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）因为在抛物线C上，所以将点P坐标代入方程，即可求得p=1．

（2）先假设存在定点Q，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y=kx+b．联立得，当时，有．由题意知，，

因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，即解得或．所求的定点Q即为点A，即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．.

试题解析：（1）因为在抛物线C上，所以1=2p·，得p=1．

（2）假设存在定点Q，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y=kx+b．

联立得，当时，有．

所以()()=(*)由题意知，，

因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，

即，

也即

根据(*)式，得()2=1，解得或．

所求的定点Q即为点A，

即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．

考点：直线与抛物线的位置关系.