Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c有两个极值点x₁，x₂.若f(x₁)＝x₁<x₂，则关于x的方程3(f(x))²＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数为________．

Answer 1

3

解析　因为函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c有两个极值点x₁，x₂，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x²＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x₁，x₂.则方程3(f(x))²＋2af(x)＋b＝0的根的个数就是方程f(x)＝x₁和f(x)＝x₂的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x₁和直线y＝x₂共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根．