Question

7．已知函数$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-1}}{{{2^x}+1}}$为奇函数
（1）求a，并判断f（x）在R上的单调性，证明你的结论；
（2）若$f（m）≥\frac{1}{6}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，求得a的值，再利用函数的单调性的定义证明f（x）在R上单调递增．
（2）根据$f（m）≥\frac{1}{6}$=f（1），且f（x）在R上单调递增，求得m的范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{{a•{2^x}+a-1}}{{{2^x}+1}}$为奇函数，∴f（0）=$\frac{a+a-1}{2}$=0，a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{\frac{1}{2}{•2}^{x}-\frac{1}{2}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
故f（x）在R上单调递增．
证明：任意设x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由题设可得，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，∴$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上单调递增．
（2）若$f（m）≥\frac{1}{6}$=f（1），∵f（x）在R上单调递增，∴m≥1．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的定义，函数的单调性的证明方法，函数的单调性的应用，属于中档题．