Question

6．已知△ABC的顶点A（-3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，则$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=3．

Answer 1

分析 由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=3．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，
则顶点A，B为椭圆的两个焦点，
三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{5c}{a+b}$=$\frac{5×6}{10}$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．