Question

17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图，M是图象的一个最低点，图象与x轴的一个交点坐标为（$\frac{π}{2}$，0），与y轴的交点坐标为（0，-$\sqrt{2}$）．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）关于x的方程f（x）-m=0在[0，2π]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得其周期T=4π，从而可求得ω；由其图象与x轴的一个交点坐标为（$\frac{π}{2}$，0）及|φ|＜$\frac{π}{2}$可求得φ，当x=0时，y=Asin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，可求得A；
（2）求出函数f（x）在x∈[0，2π]的取值情况，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：（1）由图可知，函数的周期T=4×[$\frac{π}{2}$-（-$\frac{π}{2}$）]=4π，
∴$\frac{2π}{ω}$=4π，ω=$\frac{1}{2}$；
∵图象与x轴的一个交点坐标为（$\frac{π}{2}$，0），
∴Asin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=0，
∴sin（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{4}$+φ=kπ，故φ=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）．
由|φ|＜$\frac{π}{2}$得，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴y=Asin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
当x=0时，y=Asin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，
∴A=2．
综上可知，A=2，ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
当x∈[0，2π]时，$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，可得：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
由f（x）-m=0得f（x）=m，要使方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有两个不同的解，
则f（x）=m在x∈[0，2π]上有两个不同的解，即函数f（x）和y=m在x∈[0，2π]上有两个不同的交点，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤m＜1．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，求得A、ω、φ的值是关键，考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．