Question

7．若不等式[y²+（2x-5）y-x²]•（lnx-lny）≤0对任意的y∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值集合为{$\frac{5}{2}$}．

Answer 1

分析 把x看作常数，令f（y）=y²+（2x-5）y-x²，讨论f（y）的单调性和x，y的大小关系，计算f（y）的最值，根据式子恒成立列不等式得出a的范围．

解答 解：设f（y）=y²+（2x-5）y-x²，x＞0，y＞0，
则f（y）的图象开口向上，对称轴为y=$\frac{5-2x}{2}$，
显然当x=y时，不等式恒成立．
（I）若$\frac{5-2x}{2}$≤0，即x≥$\frac{5}{2}$时，f（y）在（0，+∞）上单调递增，
①若lnx-lny＞0，即0＜y＜x时，f（y）≤0恒成立，
∴f（y）＜f（x）=（2x-5）x≤0，解得0≤x≤$\frac{5}{2}$，∴x=$\frac{5}{2}$；
②若lnx-lny＜0，即y＞x时，f（y）≥0恒成立，
∴f（y）＞f（x）=（2x-5）x≥0，解得x≥$\frac{5}{2}$，
综上，x=$\frac{5}{2}$．
（II）若$\frac{5-2x}{2}$＞0，即0$＜x＜\frac{5}{2}$时，f（y）在（0，$\frac{5-2x}{2}$）上单调递减，在（$\frac{5-2x}{2}$，+∞）上单调递增．
①若lnx-lny＞0，即0＜y＜x时，f（y）≤0恒成立，
若x≤$\frac{5-2x}{2}$，即0＜x≤$\frac{5}{4}$时，f（y）在（0，x）上单调递减，
∴f（y）＜f（0）=-x²＜0，符合题意；
若x＞$\frac{5-2x}{2}$，即x＞$\frac{5}{4}$时，f（y）在（0，x）上先减后增，
又f（0）＜0，故只需f（x）≤0即可，
∴f（x）=（2x-5）x≤0，解得0≤x≤$\frac{5}{2}$，∴0＜x＜$\frac{5}{2}$．
②若lnx-lny＜0，即y＞x时，f（y）≥0恒成立，
若x≤$\frac{5-2x}{2}$，即0＜x≤$\frac{5}{4}$时，f（y）在（x，+∞）上先减后增，
∴f（y）≥f（$\frac{5-2x}{2}$）=$\frac{-8{x}^{2}+20x-25}{4}$≥0，不等式无解，
若x＞$\frac{5-2x}{2}$，即x＞$\frac{5}{4}$时，f（y）在（x，+∞）上单调递增，
∴f（y）＞f（x）=（2x-5）x≥0．解得x≥$\frac{5}{2}$（舍）．
综上，不存在x使得对任意的y∈（0，+∞）原不等式恒成立．
综合（I）（II）可得，x=$\frac{5}{2}$．
故答案为：{$\frac{5}{2}$}．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题．