Question

6．当a为任意实数时，直线x（a+2）-y-a+1=0恒过定点C，则分别求出过点C的且满足下列条件的直线方程
（1）与已知直线x-2y+3=0平行；
（2）与x，y轴的正半轴交于A，B两点，且△AOB面积最小（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）直线可化为（x-1）a+（2x-y+1）=0，得到关于x，y的方程组，解出即可；
（2）设直线l方程为截距式：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），将点C坐标代入并利用基本不等式，可得ab≥8，当且仅当a=2，b=4时等号成立．由此即可算出△OAB面积的最小值及相应的直线l的方程．

解答 解：（1）：当a为任意实数时，直线（a+2）x-y-a+1=0恒过定点C，
则直线可化为（x-1）a+（2x-y+1）=0，
对于a为任意实数时，
此式恒成立有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
故定点C坐标是（1，3）；
设与已知直线x-2y+3=0平行的直线方程是：x-2y+c=0，
将C（1，3）代入x-2y+c=0，得：c=5，
故直线方程是：x-2y+5=0；
（2）设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
∵直线过C（1，3），∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=1
∵1=$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$=$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，
∴ab≥12，当且仅当a=2，b=6时等号成立
此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≥6，即面积的最小值为6，
所求直线l的方程是$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1，
即3x+y-6=0．

点评 本题给出直线经过定点，求使直线被坐标轴截得三角形面积最小时直线的方程．着重考查了直线的方程、基本不等式求最值等知识，属于中档题．