Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是x-2y=0，
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为，
由题设得，解得，
所以双曲线的方程为；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
点的坐标满足方程组，
将①式代入②式，得，
整理得，
此方程有两个不等实根，
于是，
整理得，　③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足，
从而线段MN的垂直平分线方程为，
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，
由题设可得，
整理得，k≠0，
将上式代入③式得，
整理得，k≠0，
解得，
所以k的取值范围是。