Question

16．已知函数f（x）=$\frac{b}{x}$-ax+（1+a）lnx，a∈R，且y=f（x）在x=1处的切线垂直于y轴．
（1）若a=-1，求y=f（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线方程；
（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（$\frac{1}{2}$），f′（$\frac{1}{2}$）的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：$f'（x）=-\frac{b}{x^2}-a+\frac{1+a}{x}$，
由题意f'（1）=-b-a+1+a=0，故b=1；
（1）若a=-1，$f（x）=\frac{1}{x}+x$，则$f（\frac{1}{2}）=\frac{5}{2}$，
因为$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+1$，所以$k=f'（\frac{1}{2}）=-3$，
故所求切线方程为$y-\frac{5}{2}=-3（x-\frac{1}{2}）$，即y=-3x+4．
（2）$f'（x）=-\frac{b}{x^2}-a+\frac{1+a}{x}=\frac{{-a{x^2}+（1+a）x-1}}{x^2}=\frac{-（ax-1）（x-1）}{x^2}$，
当a=0时，由f'（x）=0得x=1，
则f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{1}{a}$，
则f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{1}{a}$，
若0＜a＜1，则$1＜\frac{1}{a}$，则f（x）在$（1，\frac{1}{a}）$内单调递增，在（0，1]和$[\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减；
若a=1，则$\frac{1}{a}=1$，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞1，则$\frac{1}{a}＜1$，则f（x）在$（\frac{1}{a}，1）$内单调递增，在$（0，\frac{1}{a}]$和[1，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．