Question

2．已知在（-∞，1]上递减的函数f（x）=x²-2tx+1，且对任意的x₁，x₂∈[0，t+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，则实数t的取值范围为（　　）

• A． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• B． $[1，\sqrt{2}]$
• C． [2，3]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质可得t≥1．故只要f（0）-f（t）≤2 即可，解不等式可求得t的范围．

解答 解：由于函数f（x）=x²-2tx+1的图象的对称轴为x=t，
函数f（x）=x²-2tx+1在区间（-∞，1]上单调递减，∴t≥1．
则在区间∈[0，t+1]上，0离对称轴x=t最远，
故要使对任意的x₁，x₂∈[0，t+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，
只要f（0）-f（t）≤2即可，即1-（t²-2t²+1）≤2，求得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$．
再结合t≥1，可得1≤t≤$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题主要二次函数的性质，注意讨论对称轴和区间的关系，不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．