Question

15．设命题p：关于x的函数y=（a-1）x为增函数；命题q：不等式-x²+2x-2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．

解答 解：当命题p为真命题时，a＞1．
当命题q为真命题时，由-x²+2x-2=-（x-1）²-1≤-1，∴a≥-1．
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．
①当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，无解；
②当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．