Question

3．已知函数y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）
（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数的一个周期的图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）求此函数的图象的对称轴方程、对称中心．

Answer 1

分析 （1）用五点法求出对应的点的坐标，即可在坐标系中作出函数一个周期的图象；
（2）本题考察的是求正弦函数的单调区间问题，只需把ωx+φ代入相应的单调递增和单调递减区间，解不等式即可求出相应的单调区间．
（3）本题考察的是求正弦函数的对称轴和对称中心问题，只需把ωx+φ代入相应的对称轴和对称中心的公式，经过计算即可求出对称轴和对称中心的表达式．

解答 解：（1）列表如下：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$	0	$\frac{1}{2}π$	π	$\frac{3}{2}π$	2π
$3sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$	0	3	0	-3	0

描点、连线，作图如下：

（2）当$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$时，解得：$4kπ-\frac{π}{2}≤x≤4kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$．
所以，单调增区间是$[{4kπ-\frac{π}{2}，4kπ+\frac{3π}{2}}]（{k∈Z}）$，
同理，单调减区间是$[{4kπ+\frac{3π}{2}，4kπ+\frac{7π}{2}}]（{k∈Z}）$．
（3）令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，可得：对称轴方程是$x=2kπ+\frac{3π}{2}（{k∈Z}）$，
令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=kπ（{k∈Z}）$，可得：$x=2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，可得对称中心是$（{2kπ+\frac{π}{2}，0}）（{k∈Z}）$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点作图法，以及熟练掌握三角函数的有关概念和性质，属于基础题．