Question

9．已知函数$f（t）=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$，F（x）=sinx•f（cosx）+cosx•f（sinx）且$π＜x＜\frac{3π}{2}$．
（Ⅰ）将函数F（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数F（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（sinx），f（cosx）代入f（t），分子分母分别乘以（1-sinx），（1-cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案．
（Ⅱ）先由x的范围求出x+$\frac{π}{4}$的范围，再由三角函数的单调性可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$π＜x＜\frac{3π}{2}$知sinx＜0，cosx＜0，
∴$F（x）=sinx\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}+cosx\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}$=$sinx•\frac{1-cosx}{|sinx|}+cosx•\frac{1-sinx}{|cosx|}$=sinx+cosx-2=$\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-2$；
（Ⅱ）由$π＜x＜\frac{3π}{2}$得$\frac{5π}{4}＜x+\frac{π}{4}＜\frac{7π}{4}$
∴$-1≤sin（{x+\frac{π}{4}}）＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$-2-\sqrt{2}≤\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-2＜-3$
∴F（x）的值域是$[{-2-\sqrt{2}，-3}）$．

点评 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．