Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数k，均有a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）成立，则公比q=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a₂=a₁

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，从而得到q-q²=q²，由此能求出公比q=

1

2

．

解答： 解：等比数列{a_n}的前n项和为S_n，
对于任意的正整数k，均有a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）成立，
∴a_n=a₁q^n-1，
S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
a_k=

lim

n→∞

（S_n-S_k）
=

lim

n→∞

a1(qk-qn)

1-q

，
当k=2时，
a₂=

lim

n→∞

a1(q2-qn)

1-q

=a₁

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，
∴a1q=a1

lim

n→∞

q2-qn

1-q

，∴q-q2=

lim

n→∞

(q2-qn)，
∴q-q²=q²，
q（2q-1）=0
解得q=

1

2

，或q=0（舍）．
∴公比q=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．