Question

9．等比数列{a_n}中，${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={2^n}-1$，则$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=（　　）

• A． （2ⁿ-1）²
• B． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• C． $\frac{1}{3}（4-\frac{1}{{{4^{n-1}}}}）$
• D． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$

Answer 1

分析 可得等比数列{a_n}的首项和公比，进而可得数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得．

解答 解：∵等比数列{a_n}中${a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}={2^n}-1$，
∴a₁=2¹-1=1，a₁+a₂=2²-1=3，∴a₂=2，故公比q=2，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$（4-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$），
故选：C．

点评 本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属中档题．