Question

设平面内两向量

a

与

b

互相垂直，且|

a

|=2，|

b

|=1，又k与t是两个不同时为零的实数．
（1）若

x

=

a

+（t-3）

b

与

y

=-k

a

+

b

垂直，试求k关于t的函数关系式k=f（t）；
（2）求函数k=f（t）的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数解析式的求解及常用方法

专题：平面向量及应用

分析：利用向量垂直的性质得到数量积为0，得到k，t的关系式．

解答： 解：因为向量

a

与

b

互相垂直，所以向量

a

•

b

=0，
（1）若

x

=

a

+（t-3）

b

与

y

=-k

a

+

b

垂直，所以[

a

+（t-3）

b

]•[-k

a

+

b

]=0，
所以-k

a

2-k(t-3)

a

•

b

+

a

•

b

+(t-3)

b

2=0，
平面内两向量

a

与

b

互相垂直，且|

a

|=2，|

b

|=1，所以-4k+t-3=0，
所以k=

t

4

-

3

4

；
（2）因为k=

t

4

-

3

4

是一次函数形式，t∈R，所以函数k=f（t）没有最小值．

点评：本题考查了向量垂直的性质以及向量乘法的运算．